Математический курс «Комбинаторика»
Урок 8
Тема: классическая вероятность
для 1-9 классов
Содержание урока
1. Видеоразбор задач

2. Объяснение темы на конкретных примерах

3. Математический лайфхак

4. Задачи для самостоятельного решения
КОМБИНАТОРИКА — УРОК 8
Видеоразбор задач
Задача 1
Задача 2
Во всех предыдущих уроках мы учились подсчитывать количество способов совершить то или иное СОБЫТИЕ. В этом уроке мы познакомимся с понятием вероятности – меры случайности события.

Вероятностью события A называется число
Классическая вероятность
Математический лайфхак
Для того, чтобы не допускать ошибок, нужно уметь чётко определять, что является событием, какие исходы благоприятствуют его наступлению (m) и какие исходы вообще возможны (n). Часто ошибки заключаются в неправильном определении того, что нужно считать, или в неверном подсчёте количества общих исходов.

Например, в коробке лежит 7 игрушек – 3 зайчика и 4 куклы. Сколькими способами можно вытащить две игрушки? Нам НЕ ВАЖЕН порядок выбора, то есть при выборе пары зайчик-кукла нас интересует сама пара, а не что мы вытащили сначала – зайчика или куклу. Значит перестановки зайчик-кукла и кукла-зайчик, подсчитанные дважды, нужно исключить (делением на 2). И количество способов выбрать 2 игрушки рассчитывается как 7 * 6 : 2 = 21.

! Также всегда проверяй, что полученная вероятность меньше 1. Если это условие не выполнено – задача решена не верно.
Условие
Торик и Боня пришли на встречу участников олимпиады «Пифагоровы штаны». Кроме них пришло ещё 11 участников. Всех рассадили за круглый стол. Какова вероятность, что Торик и Боня окажутся рядом?
1
ПРИМЕР
где 0 ≤ m ≤ n,

m – количество исходов, благоприятствующих наступлению события А

n – количество всевозможных исходов одного действия.

Вероятность, то есть значение p(A), всегда находится в пределах от 0 до 1, то есть 0 ≤ p(A) ≤ 1.
Условие
У Пифа есть 23 мячика, из которых 10 красных и 13 синих.
а) Какова вероятность, что Пиф не глядя выберет два мячика одного цвета?
б) два мячика разных цветов?
2
ПРИМЕР
Давайте рассмотрим два примера:
Торик и Боня пришли на встречу участников олимпиады «Пифагоровы штаны». Кроме них пришло ещё 11 участников. Всех рассадили за круглый стол. Какова вероятность, что Торик и Боня окажутся рядом?
Посадим Торика на какое-нибудь место. Сколькими способами Боня может сесть рядом? Двумя – справа или слева от Торика. Сколькими способами Боня может сесть на ЛЮБОЕ место? Двенадцатью – то есть на любое место, кроме того, которое занял Торик. Причём нам не важно, на каком конкретном стуле Торик будет сидеть (не считаем перемещение участников по кругу).

В данной задаче событие А – Боня сидит рядом с Ториком, m = 2, n = 12.
УСЛОВИЕ
Вероятность, что Торик и Боня окажутся рядом, рассчитываем по формуле:
РЕШЕНИЕ
У Пифа есть 23 мячика, из которых 10 красных и 13 синих.

а) Какова вероятность, что Пиф не глядя выберет два мячика одного цвета?
б) Два мячика разных цветов?
а) Событие А в этой задаче – вытащить два мячика ОДНОГО ЦВЕТА. Действие, которое совершает Пиф – вытащить 2 мячика. То есть для того, чтобы вычислить вероятность выбора именно двух шариков одного цвета, нужно подсчитать количество способов вытащить 2 любых шарика (n – количество всевозможных исходов одного действия) и количество способов вытащить 2 шарика одного цвета, то есть 2 красных или 2 синих (m – количество исходов, благоприятствующих наступлению события А).

Подсчитаем количество способов выбрать 2 любых шарика. Всего их 23. Первым можно вытащить любой шарик из 23, вторым – любой из 22 оставшихся. Нас интересует только цвет выбранных шариков, но не порядок выбора – исключаем варианты перестановки (красный-синий и синий-красный) делением на два.

Получаем 23 * 22 : 2 = 253 исхода.

Подсчитаем количество исходов, когда Пиф выберет 2 шарика одного цвета (2 красных ИЛИ 2 синих).

Для подсчёта количества исходов, при которых Пиф выберет 2 красных мячика используем формулу сочетаний из десяти элементов по два (всего красных мячиков 10, k = 2, n = 10):

УСЛОВИЕ
РЕШЕНИЕ
Более сложный случай рассмотрим на примере уже знакомой задачи:
Для подсчёта количества исходов, при которых Пиф выберет 2 синих мячика, используем формулу сочетаний из тринадцати элементов по два (всего синих мячиков 13, k = 2, n = 13):
Поскольку выбор двух красных шариков исключает выбор двух синих и наоборот, используем правило суммы:

45 + 78 = 123 исхода.

Используя формулу, рассчитываем вероятность выбора двух шариков одного цвета:
б) Событие B - вытащить два мячика РАЗНЫХ цветов. Действие, которое совершает Пиф – то же, вытащить 2 мячика.

Есть два способа рассчитать вероятность выбора двух мячиков разных цветов.

СПОСОБ 1

Подсчитаем количество исходов, при которых будут выбраны 2 мячика разных цветов (m – количество исходов, благоприятствующих наступлению события А). Пиф выбирает красный шарик (один из 10) и синий (один из 13). Порядок выбора не важен. Количество таких исходов будет равно

10 * 13 = 130.

Количество всевозможных исходов выбора двух мячиков мы уже считали – 253.

Используя формулу, рассчитываем вероятность выбора двух шариков разного цвета:

СПОСОБ 2

Выбрать два шарика разных цветов – всё равно, что НЕ выбрать 2 шарика одного цвета. И вероятность такого выбора можно рассчитать, вычтя из 1 вероятность выбора двух шариков одного цвета, т.е.:
Задачи для самостоятельного решения
Задача №1
Ниже ты найдёшь 5 задач для самостоятельного решения. Каждая задача помечена звёздочкой — это уровень сложности. Не спеши сразу смотреть решение с ответами. Постарайся самостоятельно разобраться в каждой задачке. У тебя всё получится! :)
Боня написала какое-то двузначное число. Какова вероятность, что сумма цифр этого числа равна 5?
Пиф, Боня и Торик пришли в гости к деду Пифагору и повесили свои шляпы на крючок при входе. Дед Пифагор так утомил друзей сложными задачками, что, уходя, они были не в состоянии отличить одну шляпу от другой и поэтому разобрали три шляпы наугад. Найдите вероятность того, что никто из них не взял свою собственную шляпу.
Дед Пифагор легко запоминает телефонный номер из семи цифр, если этот номер палиндром, то есть он одинаково читается слева направо и справа налево. Например, номер 4435344 дед Пифагор запоминает легко, потому что этот номер палиндром. А номер 3723627 – не палиндром, поэтому дед Пифагор такой номер запоминает с трудом. Найдите вероятность того, что телефонный номер нового случайного знакомого дед Пифагор запомнит легко. (С 0 номер начинаться не может)
Задача №5
Торик начертил таблицу 3×3. В четыре случайно выбранные ячейки Пиф поставил в эту таблицу 4 одинаковые фишки (в одну клетку – одна фишка). Найдите вероятность того, что среди этих четырёх фишек найдутся три, которые стоят в один ряд по вертикали, по горизонтали или по диагонали.
В киоске продаются 15 лотерейных билетов. Среди них 5 выигрышных. Какова вероятность, что Боня купит 4 билета, среди которых будет:

а) хотя бы 1 выигрышный
б) ровно 1 выигрышный
Задача №3
Задача №4
Задача №2
Боня написала какое-то двузначное число. Какова вероятность, что сумма цифр этого числа равна 5?
Событие А – написано число, сумма цифр которого равна 5.

m – количество чисел, сумма цифр которых равна 5, n – количество двузначных чисел.

Подсчитаем количество двузначных чисел, сумма цифр которых равна 5:

14, 23,32, 41, 50 – 5 чисел.

Количество двузначных чисел – 90.

Используя формулу, рассчитываем вероятность:

УСЛОВИЕ
РЕШЕНИЕ
Пиф, Боня и Торик пришли в гости к деду Пифагору и повесили свои шляпы на крючок при входе. Дед Пифагор так утомил друзей сложными задачками, что, уходя, они были не в состоянии отличить одну шляпу от другой и поэтому разобрали три шляпы наугад. Найдите вероятность того, что никто из них не взял свою собственную шляпу.
Событие А – никто не взял свою шляпу.

n – количество способов разобрать три шляпы

m – количество способов разобрать три шляпы так, чтобы никто не взял свою

Представим, что Пиф, Боня и Торик стоят в ряд, а мы раздаем им шляпы. Порядок выдачи шляп важен, можем посчитать количество перестановок трёх элементов:

Но только в двух вариантах из шести никто из зверят не возьмет свою шляпу, поскольку тот, кто берет шляпу первым, может взять любую из двух шляп других зверят. У оставшихся же зверят выбора нет, так как шляпа одного из них по-прежнему никем не взята, и значит, он обязательно должен взять другую шляпу.

Тогда искомая вероятность:

УСЛОВИЕ
РЕШЕНИЕ
Дед Пифагор легко запоминает телефонный номер из семи цифр, если этот номер палиндром, то есть он одинаково читается слева направо и справа налево. Например, номер 4435344 дед Пифагор запоминает легко, потому что этот номер палиндром. А номер 3723627 – не палиндром, поэтому дед Пифагор такой номер запоминает с трудом.

Найдите вероятность того, что телефонный номер нового случайного знакомого дед Пифагор запомнит легко. (С 0 номер начинаться не может)
Событие А – дед Пифагор запомнит номер

m – количество номеров, которые дед Пифагор легко запомнит

n – количество всех возможных семизначных телефонных номеров

Подсчитаем количество возможных семизначных телефонных номеров. Первой цифрой может быть любая, кроме 0, а на любом из оставшихся 6 мест может стоять любая из 10 цифр. Тогда количество возможных номеров 9 * = 9 000 000.

Номер-палиндром, который дед Пифагор легко запомнит, однозначно определяется четырьмя первыми цифрами. Например, abcdcba – достаточно знать abcd, чтобы знать весь номер. Тогда таких номеров 9 * 10 * 10 * 10 = 9 000.

Подставляем полученные значения в формулу вероятности:

УСЛОВИЕ
РЕШЕНИЕ
А сколько из этих исходов благоприятствуют нашему событию А? Посчитаем расстановки, где занята вертикаль, горизонталь или диагональ. Три фишки могут стоять в ряд в трех строках, трёх столбцах и двух диагоналях (8 вариантов), при каждой из этих расстановок четвертая фишка может занять любую из свободных шести клеток. Тогда таких расстановок 8 * 6 = 48.

Подставляем полученные значения в формулу вероятности:
Событие А - нашлись 3 фишки, которые стоят в ряд по вертикали, горизонтали или диагонали.

m – количество исходов, когда будут три фишки, стоящие в по вертикали, горизонтали или диагонали

n – количество способов расставить в таблице 4 фишки

Сначала посчитаем количество способов расставить в таблице 4 фишки. Нас не интересует порядок расстановки – важен только результат, то есть как в итоге будут расположены фишки. Используем формулу сочетаний из 9 по 4:
УСЛОВИЕ
Торик начертил таблицу 3×3. В четыре случайно выбранные ячейки Пиф поставил в эту таблицу 4 одинаковые фишки (в одну клетку – одна фишка). Найдите вероятность того, что среди этих четырёх фишек найдутся три, которые стоят в один ряд по вертикали, по горизонтали или по диагонали.
РЕШЕНИЕ
В киоске продаются 15 лотерейных билетов. Среди них 5 выигрышных. Какова вероятность, что Боня купит 4 билета, среди которых будет

а) хотя бы 1 выигрышный
б) ровно 1 выигрышный
а) Событие А – покупка четырех лотерейных билетов, среди которых хотя бы 1 выигрышный

m – количество исходов, когда среди купленных билетов один, два, три или четыре – выигрышных

n – количество способов, которыми можно купить 4 любых билета.

Подсчитаем количество способов купить 4 любых билета из 20. Порядок покупки билетов не важен, речь идет о сочетаниях из 20 по 4:

УСЛОВИЕ
РЕШЕНИЕ
Подсчитать количество исходов, когда среди купленных билетов один, два, три или четыре – выигрышных, это всё равно что из всех возможных исходов вычесть те, в которых нет ни одного выигрышного (все проигрышные).

Количество способов купить 4 проигрышных билета – количество сочетаний из 15 по 4 (всего 15 проигрышных билетов):
Тогда случаев, когда хотя бы 1 билет выигрышный:

4845 – 1365 = 3480

Подставляем полученные значения в формулу вероятности:
б) Событие А – покупка четырех лотерейных билетов, среди которых ровно 1 выигрышный

m – количество исходов, когда среди купленных билетов ровно один выигрышный

n – количество способов, которыми можно купить 4 любых билета.

Количество способов купить 4 любых билета из 20 мы уже подсчитали. Их 4845.

Купить ровно 1 выигрышный билет из четырёх – значит купить 1 выигрышный И 3 проигрышных билета.

Количество способов купить 1 выигрышный билет – количество сочетаний из 5 по 1 (всего 5 выигрышных билетов):

Количество способов купить 3 проигрышных билета - количество сочетаний из 15 по 3 (всего 5 выигрышных билетов):
Используем правило произведения, т.к. покупку одного выигрышного и трёх проигрышных билетов мы совершаем одновременно. Получаем количество способов купить ровно 1 выигрышный билет из четырёх:

5 * 455 = 2275

Подставляем полученные значения в формулу вероятности:
Переходи в чат курса, чтобы задать вопросы!
website icon
Чат курса
При возникновении вопросов можете связаться с нами:
E-mail: pifshtany@gmail.com
WhatsApp: +7 905 743 04 39