Комбинаторика

Математический курс «Комбинаторика»

Урок 7

Сайт курса

Тема: сочетания с повторениями

для 1-9 классов

Содержание урока

1. Видеоразбор задач

2. Объяснение темы на конкретных примерах

3. Задачи для самостоятельного решения

КОМБИНАТОРИКА — УРОК 7

Видеоразбор задач

Задача 1

Задача 2

В предыдущем уроке мы познакомились с понятием сочетаний и научились применять формулу для расчёта количества сочетаний без повторений, то есть в случае, когда все элементы множества, из которого производится выборка – уникальны.

Если же в этом множестве один или несколько элементов повторяются – речь идёт о сочетаниях с повторениями, и формула количества сочетаний в этом случае видоизменяется.

Рассмотрим несколько примеров:

Условие

Пиф отправился в любимую кондитерскую, чтобы купить 7 пирожных для вечеринки. В ассортименте оказались пирожные 4 видов: морковное, шоколадное, кремовое и клубничное. Пиф попросил положить в коробку 7 любых пирожных. Сколькими способами продавец мог это сделать?

ОТКРЫТЬ РЕШЕНИЕ

3

ПРИМЕР

Сочетания с повторениями

Условие

Автомат печатает строку длиной 5 символов, состоящую из крестиков и ноликов. Сколькими способами может получиться строка, содержащая ровно два нолика?

ОТКРЫТЬ РЕШЕНИЕ

1

ПРИМЕР

Условие

Сколькими способами можно разложить 5 одинаковых ручек по трём различным пеналам?

ОТКРЫТЬ РЕШЕНИЕ

2

ПРИМЕР

Автомат печатает строку длиной 5 символов, состоящую из крестиков и ноликов. Сколькими способами может получиться строка, содержащая ровно два нолика?

Можем сказать, что строки будут отличаться только положением ноликов. Остальные позиции будут занимать крестики. Тогда нам достаточно посчитать количество способов выбрать два любых места из пяти имеющихся, на которых будут располагаться нолики, то есть количество сочетаний из пяти по два.

УСЛОВИЕ

РЕШЕНИЕ

Сколькими способами можно разложить 5 одинаковых ручек по трём различным пеналам?

Порядок расположения ручек не важен, поскольку они все одинаковые. В каждом из трёх пеналов может быть от 0 до 5 ручек. Приведем несколько примеров расположения ручек в пеналах, как бы разграничивая пеналы перегородками:

(РРРРР | | )

(РРРР | Р | )

(РРРР | | Р )

(РРР | Р | Р )

И так далее.

Видно, что расположение ручек в пеналах в таком представлении зависит от положения условной перегородки между пеналами. Таких перегородок у нас две, а из скольких позиций мы выбираем их расположение? Изначально у нас было только 5 ручек, перегородки мы придумали, то есть мысленно добавили два элемента в исходное множество. Теперь мы считаем количество способов выбрать два элемента уже из семи имеющихся, то есть количество сочетаний из семи элементов по два.

На прошлом уроке мы рассмотрели свойство сочетаний:

УСЛОВИЕ

РЕШЕНИЕ

То есть если мы выбираем места для перегородок, то считаем количество сочетаний из семи по два, а если места для ручек - количество сочетаний из семи по пять:

Проанализируем, что мы сделали для решения этой задачи. Мы распределяем 5 ручек k = 5 по трём пеналам n = 3. Мысленно добавили перегородки между местами – таких перегородок на 1 меньше, чем пеналов, то есть n – 1. Соответственно элементов множества стало больше на n – 1. И формула количества сочетаний С ПОВТОРЕНИЯМИ (обозначается чертой сверху) приняла вид:

Применим эту формулу и получим ответ к задаче:

В ассортименте кондитерской пирожные четырех видов, Пиф хочет купить семь пирожных. Нужно составить комбинацию из k = 7 элементов, которые выбираются из n = 4 типов. Порядок выбора пирожных не важен, как и количество пирожных каждого вида. Можем использовать формулу для подсчёта количества сочетаний с повторениями:

УСЛОВИЕ

РЕШЕНИЕ

Пиф отправился в любимую кондитерскую, чтобы купить 7 пирожных для вечеринки. В ассортименте оказались пирожные 4 видов: морковное, шоколадное, кремовое и клубничное. Пиф попросил положить в коробку 7 любых пирожных. Сколькими способами продавец мог это сделать?

Задачи для самостоятельного решения

Задача №1

Ниже ты найдёшь 5 задач для самостоятельного решения. Каждая задача помечена звёздочкой — это уровень сложности. Не спеши сразу смотреть решение с ответами. Постарайся самостоятельно разобраться в каждой задачке. У тебя всё получится! :)

У Торика в банке много клубничных, банановых, апельсиновых, малиновых и яблочных мармеладок. Сколькими способами он может угостить Пифа тремя мармеладками?

Открыть решение

Сколько четырехугольников можно составить из отрезков, равных 2, 3, 4, 5, 6 и 7 см? Стороны могут быть равны.

Открыть решение

Ученики кружка «Пифагоровы штаны» приняли участие в конкурсе рисунков. Всего на суд жюри было представлено 8 работ, которые судили по четырём категориям: Боня оценивала яркость красок, дед Пифагор – сюжет, Пиф – композицию картины, а Торик – оригинальность задумки. Приз в каждой номинации – рюкзачок со сладостями. Сколько существует вариантов распределения призов? (Одна работа может победить в нескольких номинациях)

Задача №5

Открыть решение

У Торика есть много красных, зеленых, синих, жёлтых, и белых звёздочек. Он фасует их в пакетики по 5 штук. Сколько различных комбинаций из звёздочек у него может получиться?

Открыть решение

6 ребят выбирают водящего в игре голосованием (пишут имя на бумажке и складывают в мешок). У одного из ребят день рождения, и за него договорились не голосовать. Каждый голосует ровно за одного. По окончании голосования составляют таблицу, в которой указано только количество голосов, отданных за каждого из ребят (кто за кого проголосовал остается в тайне). Сколько различных итоговых таблиц может получиться?

Задача №3

Открыть решение

Задача №4

Задача №2

У Торика в банке много клубничных, банановых, апельсиновых, малиновых и яблочных мармеладок. Сколькими способами он может угостить Пифа тремя мармеладками?

В банке у Торика мармеладки пяти видов, Пифа он угостит тремя мармеладками. Нужно составить комбинацию из k = 3 элементов, которые выбираются из n = 5 типов. Порядок извлечения мармеладок из банки не важен, как и количество мармеладок каждого вида. Можем использовать формулу для подсчёта количества сочетаний с повторениями:

УСЛОВИЕ

РЕШЕНИЕ

Сколько четырехугольников можно составить из отрезков, равных 2, 3, 4, 5, 6 и 7 см? Стороны могут быть равны.

Любая комбинация из четырёх выбранных отрезков будет образовывать четырехугольник. Стороны могут быть равны, а могут быть не равны. Речь о числе сочетаний из шести элементов по четыре с повторениями. Используем формулу:

УСЛОВИЕ

РЕШЕНИЕ

Ученики кружка «Пифагоровы штаны» приняли участие в конкурсе рисунков. Всего на суд жюри было представлено 8 работ, которые судили по четырём категориям: Боня оценивала яркость красок, дед Пифагор – сюжет, Пиф – композицию картины, а Торик – оригинальность задумки. Приз в каждой номинации – рюкзачок со сладостями.

Сколько существует вариантов распределения призов? (Одна работа может победить в нескольких номинациях)

Все призы одинаковые, значит порядок выбора победителей значения не имеет. Категорий n = 4, участников k = 8. Возможна победа в нескольких (а может и во всех) номинациях. Используем формулу для подсчёта количества сочетаний с повторениями:

УСЛОВИЕ

РЕШЕНИЕ

= 330 вариантов

В каждом пакетике могут оказаться как все звёздочки одного цвета, так и все звёздочки разных цветов. Можно представить, что цвета – это «категории» звёздочек. А их количество фиксировано – по 5 штук в любом пакетике. Тогда n – количество звёздочек в пакетике, k – количество звёздочек одного цвета.

Посчитаем количество сочетаний с повторениями для звёздочек одного, двух, трёх, четырёх и пяти цветов, а затем сложим получившиеся способы по правилу суммы (в мешочке звёздочки одного цвета ИЛИ двух, ИЛИ трёх…)

УСЛОВИЕ

У Торика есть много красных, зеленых, синих, жёлтых, и белых звёздочек. Он фасует их в пакетики по 5 штук. Сколько различных комбинаций из звёздочек у него может получиться?

РЕШЕНИЕ

Суммируем количество комбинаций:
5 + 15 + 35 + 70 + 126 = 251 комбинация.

6 ребят выбирают водящего в игре голосованием (пишут имя на бумажке и складывают в мешок). У одного из ребят день рождения, и за него договорились не голосовать. Каждый голосует ровно за одного. По окончании голосования составляют таблицу, в которой указано только количество голосов, отданных за каждого из ребят (кто за кого проголосовал остается в тайне).
Сколько различных итоговых таблиц может получиться?

За каждого из пяти ребят, за которых можно голосовать, могут проголосовать все, а может – никто. Обозначим за x₁ – количество голосов, отданных за первого человека, x₂ – за второго и так далее. Каждый проголосовал 1 раз, то есть всего отдано 6 голосов (именинник тоже голосовал).

И задача сводится к количеству подсчёта способов решить в целых неотрицательных числах уравнение:

УСЛОВИЕ

РЕШЕНИЕ

То есть нам нужно распределить 6 голосов между пятью кандидатами, учитывая, что за одного кандидата может быть несколько голосов. Посчитаем количество сочетаний из 5 по 6 с повторениями:

Переходи в чат курса, чтобы задать вопросы!

Чат курса

При возникновении вопросов можете связаться с нами:
E-mail: pifshtany@gmail.com
WhatsApp: +7 905 743 04 39