Математический курс «Комбинаторика»
Урок 6
Тема: сочетания без повторений
для 1-9 классов
Содержание урока
1. Видеоразбор задач

2. Объяснение темы на конкретных примерах

3. Математический лайфхак

4. Задачи для самостоятельного решения
КОМБИНАТОРИКА — УРОК 6
КОМБИНАТОРИКА — УРОК 6
КОМБИНАТОРИКА — УРОК 6
КОМБИНАТОРИКА — УРОК 6
КОМБИНАТОРИКА — УРОК 6
Видеоразбор задач
Задача 1
Задача 2
На предыдущем уроке мы познакомились с понятием размещений (и перестановок, как частного случая размещений) и научились применять формулу для подсчёта перестановок. Теперь познакомимся с понятием сочетаний.

Сочетанием из n элементов по k называется набор содержащая k элементов, выбранных из данных n элементов. Наборы, отличающиеся только порядком следования элементов (но не составом), считаются одинаковыми. Этим сочетания и отличаются от размещений – порядок следования элементов в выборке не важен.

Для подсчёта количества сочетаний без повторений (когда все элементы уникальны) используется формула:

Условие
Боня пришла в магазин, чтобы купить красивые наборы столовых приборов для праздника. Но продавец сказал, что в последней привезенной партии среди 10 наборов три бракованных. Боня решила испытать удачу и купила три набора в надежде, что все они окажутся без брака. Сколькими способами она могла выбрать хотя бы один бракованный набор?
3
ПРИМЕР
Сочетания без повторений
Математический лайфхак
Как и в случае с использованием формулы для подсчёта перестановок, сперва нужно убедиться, что пользоваться формулой для решения конкретной задачи можно. Задай себе вопросы:

Все ли элементы из доступных участвуют в сочетании? (Если да, то речь идёт о крайнем случае, используй правила!). Определи значения n и k.

Учитывается ли порядок следования элементов? (Если да, то речь идёт о размещениях, формулу для их подсчёта мы изучили на прошлом уроке)

Есть ли повторяющиеся элементы в множестве? (Если да, то формулой из этого урока пользоваться нельзя. Как быть в этой ситуации – рассмотрим в следующем уроке)
Условие
У Пифа есть 23 мячика, из которых 10 красных и 13 синих.
а) Сколькими способами можно выбрать два мячика одного цвета?
б) Сколькими способами можно выбрать два мячика разных цветов?
1
ПРИМЕР
где n – количество элементов в множестве, а k – количество «мест», доступных для размещения.
Лайфхак:

В формуле сочетаний существуют «крайние» значения. Их удобно запомнить, чтобы не выполнять лишних вычислений:
1) единственным способом можно не выбрать ни одного элемента
Условие
Пиф, Торик, Дед Пифагор и Боня хотят пойти куда-нибудь после обеда. Можно пойти на каток или в бассейн. Сколькими способами они могут распределиться между этими двумя занятиями? Каждый должен выбрать себе занятие, но, возможно, куда-то никто не придёт.
2
ПРИМЕР
2) n способами можно выбрать один элемент
3) n способами можно выбрать n-1 элемент (т.е. оставить один элемент)
4) единственным способом можно выбрать ВСЕ элементы
Давайте рассмотрим несколько примеров:
Задачи для самостоятельного решения
Задача №1
Ниже ты найдёшь 5 задач для самостоятельного решения. Каждая задача помечена звёздочкой — это уровень сложности. Не спеши сразу смотреть решение с ответами. Постарайся самостоятельно разобраться в каждой задачке. У тебя всё получится! :)
Дедушка Пифагор собирает команду для игры «Что? Где? Когда?» из физиков и математиков. Сколькими способами можно собрать команду из 3 физиков и 4 математиков, если дед Пифагор знаком с 6 физиками и 8 математиками?
Пиф подбросил монету 9 раз. Сколько всего существует последовательностей, в которых «орёл» выпал ровно четыре раза?
Большой треугольник разбили на одинаковые части. Сколько способов закрасить ровно треть большого треугольника? Закрашивать кусочки, на которые он разбит, можно только целиком.
Торик строит замок из конструкторов двух наборов. Первую башенку он хочет построить из четырёх деталей первого набора, вторую – из шести деталей второго, а третью – из трёх любых деталей. Сколькими способами он может это сделать, если у него осталось 14 деталей: 6 из первого набора и 8 из второго?
Боня гуляет по аллее, вдоль которой рядами растут деревья. По правую сторону – 8 деревьев, а по левую — 11 деревьев. Боня захотела обвязать какие-то три дерева лентами, чтобы образовать их них треугольник. Сколькими способами она может это сделать?
Задача №3
Задача №5
Задача №4
Задача №2
Переходи в чат курса, чтобы задать вопросы!
website icon
Чат курса
При возникновении вопросов можете связаться с нами:
E-mail: pifshtany@gmail.com
WhatsApp: +7 905 743 04 39