Математический курс «Комбинаторика»
Урок 5
Сайт курса
Тема: выбор с учётом порядка
для 1-9 классов
Содержание урока
1. Видеоразбор задач

2. Объяснение темы на конкретных примерах

3. Математический лайфхак

4. Задачи для самостоятельного решения
КОМБИНАТОРИКА — УРОК 5
Видеоразбор задач
Задача 1
Задача 2
На предыдущем уроке мы познакомились с понятием факториала и научились решать задачи с использованием формулы перестановок. Теперь рассмотрим задачи на подсчёт количества размещений без повторений элементов.

Размещением из n элементов по k называется УПОРЯДОЧЕННАЯ выборка, содержащая k различных элементов, выбранных из данных n элементов. Наборы, состоящие из одинаковых элементов, расположенных в разном порядке, считаются разными.

Для подсчёта количества размещений без повторений (когда все элементы уникальны) используется формула:

Условие
Пиф строит пятиэтажную пирамидку из семи разноцветных кубиков, причём таким образом, чтобы верхний кубик обязательно был не жёлтым и не красным. Сколько разных пирамидок у него может получиться?
ОТКРЫТЬ РЕШЕНИЕ
3
ПРИМЕР
Выбор с учётом порядка
Математический лайфхак
Как и в случае с использованием формулы для подсчёта перестановок, сперва нужно убедиться, что пользоваться формулой для решения конкретной задачи можно. Задай себе вопросы:

· Все ли элементы из доступных участвуют в размещении? (Если да, то речь идёт о перестановках). Определи значения n и k.

· Учитывается ли порядок следования элементов? (Если нет, то формулой размещений пользоваться нельзя)

Условие
Сколько существует трёхзначных чисел, которые можно составить из цифр 1, 2, 3, 4, 5, 6, если цифры не могут повторяться?
ОТКРЫТЬ РЕШЕНИЕ
1
ПРИМЕР
Условие
Дедушке Пифагору подарили фотоальбом, содержащий 12 страниц. Он выбрал 4 любимые фотографии и принялся заполнять альбом. Сколькими способами он может расположить фотографии в альбоме, если на одной странице может содержаться не более одного фото?
ОТКРЫТЬ РЕШЕНИЕ
2
ПРИМЕР
где n – количество элементов в множестве, а k – количество «мест», доступных для размещения.

Или
Вторая формула что-то напоминает… Это же правило произведения!

Интересный факт! Рассмотренные ранее перестановки, это, по сути, те же размещения, только из n элементов по n (то есть сколько элементов, столько и мест под них отведено).

Давайте рассмотрим примеры:

Сколько существует трёхзначных чисел, которые можно составить из цифр 1, 2, 3, 4, 5, 6, если цифры не могут повторяться?
Используя знания, полученные в предыдущих уроках, мы бе решили эту задачу так:

Имеется три места. На первое можно поставить одну любую из шести цифр, на второе – любую, кроме уже использованной, то есть любую из пяти оставшихся, а на третье – любую из четырех оставшихся. По правилу произведения получается 6 * 5 * 4 = 120 чисел.

Теперь давайте сравним это решение со второй формулой для числа размещений:

n = 6 (выбираем из 6 цифр), k = 3 (под цифры отведено 3 «места»). Подставим значения в формулу:
УСЛОВИЕ
РЕШЕНИЕ
А теперь используем первую, основную, формулу для подсчёта числа размещений:
Для упрощения вычислений выполним сокращение получившейся дроби:
Таким образом, мы на практике проверили справедливость формулы для подсчёта количества размещений и теперь смело можем её использовать!
Дедушке Пифагору подарили фотоальбом, содержащий 12 страниц. Он выбрал 4 любимые фотографии и принялся заполнять альбом. Сколькими способами он может расположить фотографии в альбоме, если на одной странице может содержаться не более одного фото?
Количество элементов n, из которых мы выбираем, равно 12 (12 страниц в фотоальбоме). Количество «мест» k, которые дед Пифагор заполнит фотографиями, равно 4 (всего у него 4 фотографии). Фотографии можно располагать в разном порядке, значит порядок имеет значение. В таком случае справедлива формула для подсчёта количества размещений двенадцати по четыре. Можем подставить в формулу значения n и k:
УСЛОВИЕ
РЕШЕНИЕ
Теперь решим более сложную задачу, состоящую из нескольких действий:
Выбираем из семи кубиков пять (n = 7, k = 5). Количество способов такого выбора:
УСЛОВИЕ
РЕШЕНИЕ
Теперь посчитаем случаи, когда верхний кубик – жёлтый, то есть количество способов выбрать комбинацию из четырёх нижних кубиков при зафиксированном верхнем жёлтом. То есть количество размещений из шести (без жёлтого), по четыре:
С красным кубиком поступим так же – получится 360 способов.

То есть всего неподходящих вариантов размещений 360 + 360 = 720.

Осталось их исключить: 2520 – 720 = 1800

Пиф строит пятиэтажную пирамидку из семи разноцветных кубиков, причём таким образом, чтобы верхний кубик обязательно был не жёлтым и не красным. Сколько разных пирамидок у него может получиться?
Задачи для самостоятельного решения
Задача №1
Ниже ты найдёшь 5 задач для самостоятельного решения. Каждая задача помечена звёздочкой — это уровень сложности. Не спеши сразу смотреть решение с ответами. Постарайся самостоятельно разобраться в каждой задачке. У тебя всё получится! :)
У Пифа есть 9 дипломов математических олимпиад и всего 3 красивых рамки с разными узорами, висящие в ряд на стене. Сколькими способами Пиф может разместить дипломы в рамках?
Открыть решение
Дедушка Пифагор, Торик, Пиф и Боня вошли в лифт 8-этажного дома. Сколькими способами все они могут выйти на разных этажах (выход возможен на любом этаже, начиная со второго)?
Открыть решение
Из трёх разноцветных флажков и пяти разных статуэток Боня составляет композицию, в состав которой войдёт пять предметов. При этом в ней обязательно должен быть хотя бы один флажок. Сколько визуально разных композиций может составить Боня?
Задача №5
Открыть решение
У Пифа есть 6 разных вагончиков для паровозика, а у Торика – 8, тоже разных. Каждый составляет состав из трёх своих вагончиков, а затем друзья обмениваются. Сколькими способами может быть произведён обмен?
Открыть решение
В автобусе расположены два противоположных ряда сидений по 5 мест на каждом. Из 10 пассажиров четверо желают сидеть лицом по ходу движения, трое – против хода, а остальным безразлично, как сидеть. Сколькими способами могут разместиться пассажиры с учетом их желаний?
Задача №3
Открыть решение
Задача №4
Задача №2
У Пифа есть 9 дипломов математических олимпиад и всего 3 красивых рамки с разными узорами, висящие в ряд на стене. Сколькими способами Пиф может разместить дипломы в рамках?
Поскольку все рамки разные – порядок важен. Выбор производится из 8 дипломов по 4, т.е. n = 9, k = 3. Посчитаем, сколькими способами Пиф может разместить три диплома из девяти по рамкам:
УСЛОВИЕ
РЕШЕНИЕ
Дедушка Пифагор, Торик, Пиф и Боня вошли в лифт 8-этажного дома. Сколькими способами все они могут выйти на разных этажах (выход возможен на любом этаже, начиная со второго)?
Вариантов выбора этажа для выхода n = 7 (кроме первого). Выберут из них в итоге k = 4. Порядок выхода пассажиров из лифта важен. Тогда, подставляя значения n и k в формулу размещений получим:
УСЛОВИЕ
РЕШЕНИЕ
Из трёх разноцветных флажков и пяти разных статуэток Боня составляет композицию, в состав которой войдёт пять предметов. При этом в ней обязательно должен быть хотя бы один флажок. Сколько визуально разных композиций может составить Боня?
Всего у Бони есть три флажка и пять статуэток - 3 + 5 = 8 предметов на выбор.

Выбрать из них нужно пять, то есть n = 8, k = 5. Порядок размещения элементов композиции важен. Всего способов составить композицию из восьми элементов по пять:
УСЛОВИЕ
РЕШЕНИЕ
Но в композиции обязательно должен быть хотя бы один флажок. Тогда можем посчитать количество различных композиций без единого флажка и вычесть эти случаи из уже посчитанного количества размещений из восьми элементов по 5.

При подсчёте количества возможных композиций без флажков k так же равно 5, а вот выбираем мы уже только из статуэток – т.е. n = 5. n = k, можем использовать формулу для перестановок:

Теперь вычитаем композиции без флажков:

6720 – 120 = 6600

У Пифа есть 6 разных вагончиков для паровозика, а у Торика – 8, тоже разных. Каждый составляет состав из трёх своих вагончиков, а затем друзья обмениваются. Сколькими способами может быть произведён обмен?
У Пифа всего шесть вагончиков – n = 6, а у Торика восемь – n = 8. При этом каждый собирает состав из трёх вагончиков, т.е. k = 3 в обоих случаях. Поскольку все вагончики разные, то от их положения зависит внешний вид состава – порядок важен.

Посчитаем, сколько разных составов может собрать Пиф:
УСЛОВИЕ
РЕШЕНИЕ
А сколько Торик?
Каждый из составов Пифа можно обменять на каждый из наборов Торика. Количество различных обменов считаем по правилу произведения: 120 * 336 = 40320.
В автобусе расположены два противоположных ряда сидений по 5 мест на каждом. Из 10 пассажиров четверо желают сидеть лицом по ходу движения, трое – против хода, а остальным безразлично, как сидеть. Сколькими способами могут разместиться пассажиры с учетом их желаний?
Рассмотрим отдельно желающих сидеть по ходу движения, против хода и пассажиров без предпочтений.

Желающих сидеть по ходу – k = 4, мест, расположенных по ходу движения – n = 5. Порядок рассадки пассажиров важен. Тогда их можно рассадить
Желающих сидеть против хода – k = 3, мест, расположенных против хода движения – n = 5. Порядок рассадки пассажиров важен. Количество вариантов их рассадки:
Мы рассадили 4 + 3 = 7 пассажиров из 10. Осталось трое пассажиров, которым безразлично, где сидеть, и три места в автобусе. n = 3, k = 3. Порядок рассадки важен. Можно использовать формулу для перестановок:
Мы сажаем пассажиров по ходу движения И против хода, И без учета направления. Используя правило произведения, находим общее количество способов рассадки:

120 * 60 * 6 = 1260

УСЛОВИЕ
РЕШЕНИЕ
Переходи в чат курса, чтобы задать вопросы!
website icon
Чат курса
При возникновении вопросов можете связаться с нами:
E-mail: pifshtany@gmail.com
WhatsApp: +7 905 743 04 39