Математический курс «Комбинаторика»

Урок 3
Тема: числа в комбинаторике
для 1-9 классов

Содержание урока

1. Видеоразбор задач

2. Объяснение темы на конкретных примерах

3. Математический лайфхак

4. Задачи для самостоятельного решения
КОМБИНАТОРИКА — УРОК 3
Видеоразбор задач
Задача 1
Задача 2
В этом уроке мы рассмотрим один из распространённых типов комбинаторных задач – задачи с числами, решение которых основано на применении уже знакомых нам методов – перебора, правил суммы и произведения.
Числа в комбинаторике
Условие
Сколько существует натуральных чисел от 1 до 999, в записи которых нет двух стоящих рядом одинаковых цифр?
3
ПРИМЕР
Математический лайфхак
Чаще всего ошибки в подобных задачах связаны с упущением исключений. Например, на первую позицию числа размещают 0 или не учитывают дополнительные условия, такие как сумма цифр числа, невозможность использования или повторения какой-либо цифры. Чтобы избежать таких ошибок, тщательно, по порядку с первой и до последней позиции в числе, обдумывай, все ли цифры можно использовать, не нарушив условия, или есть исключения, и тогда количество возможных вариантов уменьшится?
Условие
Сколько существует трёхзначных чисел, сумма цифр в которых
а) равна 4?
б) не превосходит 4?
1
ПРИМЕР
Условие
Сколько четырёхзначных чисел можно составить из цифр 2, 5, 0?
2
ПРИМЕР
Сколько существует трёхзначных чисел, сумма цифр в которых
а) равна 4?
б) не превосходит 4?
а) 1, 3, 0. Возможные варианты:

301
310
130
103

Получилось 4 варианта.

2, 2, 0. Возможные варианты:
220
202

Получилось 2 варианта.

2, 1, 1. Возможные варианты:
211
112
121

Получилось 3 варианта.

4, 0, 0. Возможные варианты:
400
Получился 1 вариант.

Теперь подсчитаем, сколько всего чисел у нас получилось: 1 + 4 + 2 + 3 = 10 вариантов.

б)

Выпишем комбинации из трёх цифр, которые в сумме дают число, не превосходящее 4, т.е. 4 или меньше.
Количество трёхзначных чисел, сумма цифр которых равна 4 мы уже подсчитали – их 10.
Рассмотрим числа, сумма цифр которых равна 3:
300
201
210
102
120
111
Таких чисел 6.

Теперь числа, сумма цифр которых равна 2:
200
110
101
Получили 3 числа.

И есть одно трёхзначное число, сумма цифр которого равна 1 – это число 100.
Подсчитаем общее количество чисел, удовлетворяющих нашему условию:
10 + 6 + 3 + 1 = 20 чисел.

УСЛОВИЕ
РЕШЕНИЕ
А теперь давайте рассмотрим другой, не менее популярный тип задач на ту же тему:
Сколько четырёхзначных чисел можно составить из цифр 2, 5, 0?
Давайте попробуем придумать такие числа! Например, 2250 или 5025, или 2002. Под условие подойдёт много чисел, посчитаем их количество строго.

На первую позицию в числе мы можем разместить любую цифру, кроме 0, то есть существует 2 варианта размещения. А на последующие три позиции можно разместить любую из трёх имеющихся цифр, то есть на каждую позицию по 3 варианта размещения.

Используя правило произведения, находим общее количество чисел, удовлетворяющих нашему условию: 2 х 3 х 3 х 3 = 54 числа.
УСЛОВИЕ
РЕШЕНИЕ
Также встречаются задачи, в которых указано условие размещения цифр, например:
Сколько существует натуральных чисел от 1 до 999, в записи которых нет двух стоящих рядом одинаковых цифр?
Так же рассмотрим каждую цифру числа как некоторую позицию и проанализируем, сколько цифр можно поставить на каждую из них. Всего существует 10 цифр, а от 1 до 999 встречаются однозначные, двузначные и трёхзначные числа.

Однозначные числа состоят лишь из одного символа, то есть все они удовлетворяют условию задачи. Таких чисел 9 (от 1 до 9).

На первую позицию двузначного числа можно поставить одну из 9 цифр (кроме 0). На второй позиции 0 разместить можно, но нельзя разместить ту же цифру, которая уже заняла первое место. То есть вариантов выбрать вторую цифру тоже 9. Количество подходящих двузначных чисел находим по правилу произведения: 9 х 9 = 81.

С трёхзначными числами поступаем аналогично. Имеем по 9 вариантов размещения цифры на каждой из трёх позиций. Тогда всего подходящих чисел: 9 х 9 х 9 = 729.
Остается лишь просуммировать полученные значения: 9 + 81 + 729 = 819 чисел.
УСЛОВИЕ
РЕШЕНИЕ
Задачи для самостоятельного решения
Задача №1
Ниже ты найдёшь 5 задач для самостоятельного решения. Каждая задача помечена звёздочкой — это уровень сложности. Не спеши сразу смотреть решение с ответами. Постарайся самостоятельно разобраться в каждой задачке. У тебя всё получится! :)
Сколько существует различных трёхзначных чисел, которые можно составить из цифр 0, 1,2,3,4? А если при этом цифры не могут повторяться?
Боня листала телефонную книгу и заметила, что семизначные номера телефона с чередованием чётных и нечётных цифр, не содержащие 0, кажутся ей красивыми. А сколько существует таких номеров?
Задача №5
Пиф спросил у деда Пифагора: «Сколько книг ты прочитал за осень?». Дед Пифагор ответил загадкой: «Столько, сколько существует четырехзначных чисел, в записи которых не используется 0, состоящих из различных цифр, сумма которых равна 15». Сколько же книг прочитал дед Пифагор?
Торик загадал желание и пошёл в театр. Он задумал, что желание непременно сбудется, если гардеробщик даст ему номерок, который будет содержать хотя бы одну цифру 5. Сколько существует «удачных» номерков в гардеробе на 600 вешалок?
Дед Пифагор забыл трёхзначное число — код от своего сундука со старинными фолиантами. Он помнит только, что первая и вторая цифры – разной чётности, а сумма цифр делится на 10. Сколько комбинаций ему придётся перебрать, чтобы точно открыть сундук?
Задача №3
Задача №4
Задача №2
Сколько существует различных трехзначных чисел, которые можно составить из цифр 0, 1,2,3,4? А если при этом цифры не могут повторяться?
На первое место мы можем поставить любую цифру, кроме 0. Таких вариантов - 4. А на второе место любую из 5. Таким образом, по правилу умножения: 4 х 5 х 5 = 100 чисел.

Если добавить условие про отсутствие повторений цифр, то решение такое: на первое место - 4 варианта, на второе место уже не 5, а 4 варианта, так как одну цифру уже использовали, а на третье место - 3 варианта.

Итого: 4 х 4 х 3 = 48 чисел.
УСЛОВИЕ
РЕШЕНИЕ
Боня листала телефонную книгу и заметила, что семизначные номера телефона с чередованием чётных и нечётных цифр, не содержащие 0, кажутся ей красивыми. А сколько существует таких номеров?
Выпишем отдельно чётные и нечётные цифры:

Чётные (без 0): 2, 4, 6, 8 – всего четыре.

Нечётные: 1, 3, 5, 7, 9 – всего пять.

Если первая цифра номера чётная, то на первой, третьей, пятой и седьмой позиции может находиться любая из четырёх нечётных цифр, а на а на второй, четвертой и шестой позиции – любая из пяти нечётных цифр.
Тогда, по правилу произведения, количество таких красивых номеров: 4 х 5 х 4 х 5 х 4 х 5 х 4 = 32000

Если первая цифра номера нечётная, значит на первой, третьей, пятой и седьмой позиции может находиться любая из пяти нечётных цифр, а на второй, четвертой и шестой позиции – любая из четырёх чётных цифр. Тогда, по правилу произведения, вычислим количество таких красивых номеров:
5 х 4 х 5 х 4 х 5 х 4 х 5 = 40000

Теперь, по правилу суммы, сложим полученные значения, и получим общее количество таких номеров: 32000 + 40000 = 72000.
УСЛОВИЕ
РЕШЕНИЕ
Пиф спросил у деда Пифагора: «Сколько книг ты прочитал за осень?». Дед Пифагор ответил загадкой: «Столько, сколько существует четырехзначных чисел, в записи которых не используется 0, состоящих из различных цифр, сумма которых равна 15». Сколько же книг прочитал дед Пифагор?
Для начала выпишем подходящие нам уникальные наборы цифр, дающих в сумме 15:

1, 2, 3, 9
1, 2, 4, 8
1, 2, 5, 7
1, 3, 4, 7
1, 3, 5, 6
2, 3, 4, 6


Теперь заметим, что из каждого набора можно составить одинаковое количество чисел. На первую позицию числа можно разместить одну из четырёх цифр, на вторую – одну из трёх оставшихся, на третью – одну из двух, на четвёртую – одну, последнюю оставшуюся. То есть из каждого набора, по правилу произведения, можно составить 4 х 3 х 2 х 1 = 24 числа. А наборов у нас 6.

Тогда общее количество подходящих чисел: 24 х 6 = 144.
УСЛОВИЕ
РЕШЕНИЕ
Торик загадал желание и пошёл в театр. Он задумал, что желание непременно сбудется, если гардеробщик даст ему номерок, который будет содержать хотя бы одну цифру 5. Сколько существует «удачных» номерков в гардеробе на 600 вешалок?
Среди 600 номерков есть нумерованные однозначными, двузначными и трёхзначными числами.

Сразу отметим, что среди номерков с однозначным числом есть только один «удачный» - с числом 5.

Среди номерков с двузначным числом подсчитаем количество таких, которые содержат хотя бы одну цифру 5. Это номерки вида 5_ и _5 и 55.

Для удобства вычислений, число 55 посчитаем отдельно, а далее рассмотрим только числа, которые содержат РОВНО одну пятёрку.

В первом случае, когда число начинается с цифры 5, есть только один вариант выбора первой цифры. А второй может быть любая цифра от 0 до 9, кроме 5, то есть вариантов выбора второй цифры 9. Номерков такого вида 1 х 9 = 9.

Во втором случае – наоборот. На второй позиции может быть размещена только 5, а на первой – любая цифра, кроме 0 и 5, то есть любая из восьми. Номерков такого вида: 8х 1 = 8.

Итого, «удачных» двузначных чисел 1 + 9 + 8 = 18.

Среди номерков с трёхзначным числом «удачными» считаются номерки вида
5_ _, _5_, _ _ 5 – содержат РОВНО одну цифру 5
55_, 5_5, _55 – содержат РОВНО две цифры 5
555 – содержит РОВНО три цифры 5.

Подсчитаем количество подходящих номерков каждого вида:
5_ _ – на первой позиции единственный вариант размещения (только 5), на второй и третьей может стоять любая цифра от 0 до 9, кроме 5. Таких номерков: 1 х 9 х 9 = 81.

_5_ и _ _ 5 – на первой позиции может стоять любая цифра от 1 до 4, то есть 4 варианта размещения, на одной из следующих позиций должна стоять цифра 5 (единственный вариант размещения), на другой – любая цифра, кроме 5 (9 вариантов). Получаем 4 х 1 х 9 + 4 х 9 х 1 = 72 номерка.

55_ и 5_5 – на первой и одной из последующих позиций должна стоять цифра 5 (единственный вариант размещения). А на оставшейся может быть размещена любая цифра, кроме 5. Таких номерков: 1 х 1 х 9 + 1 х 9 х 1 = 18.

_55 – на первой позиции может располагаться любая цифра от 1 до 4, имеем 4 варианта размещения, а на обеих последующих должна стоять только 5. Номерков такого вида 4 х 1 х 1 = 4.

Отдельно посчитаем число 555. Итого «удачных» трёхзначных чисел 81 + 72 + 18 + 4 + 1 = 176

Теперь остаётся лишь просуммировать полученные значения:
1 + 18 + 176 = 195.
УСЛОВИЕ
РЕШЕНИЕ
Дед Пифагор забыл трёхзначное число — код от своего сундука со старинными фолиантами. Он помнит только, что первая и вторая цифры – разной чётности, а сумма цифр делится на 10. Сколько комбинаций ему придётся перебрать, чтобы точно открыть сундук?
Если первая цифра – нечётна. Всего нечётных цифр 5 (1, 3, 5, 7, 9). Тогда вторая цифра должна быть чётной, таких тоже 5 (0, 2, 4, 6, 8). Всего подходящих комбинаций из двух цифр, начинающихся с нечётной цифры – 5 х 5 = 25.

Если первая цифра – чётна, то вариантов её выбора 4 (ноль не может стоять на первом месте), а вторую – нечётную цифру, можно так же выбрать 5 способами (1, 3, 5, 7, 9). Всего подходящих комбинаций из двух цифр, начинающихся с чётной цифры – 4 х 5 = 20.

Сумма первых двух цифр может получиться от 1 (1 + 0) до 17 (9 + 8). Если сумма получилась от 1 до 10, то её единственным образом можно дополнить до 10 и никак нельзя дополнить до 20. Если сумма получилась больше 10 – её можно дополнить так же единственным образом до 20.

Отсюда делаем вывод, что количество комбинаций от выбора третьей цифры не увеличивается (выбор отсутствует, нам подходит единственный вариант). То есть количество подходящих комбинаций равно количеству комбинаций, которые мы составили с первыми двумя цифрами.

Таких комбинаций 25 + 20 = 45.
УСЛОВИЕ
РЕШЕНИЕ
Переходи в чат курса, чтобы задать вопросы!
website icon
Чат курса
При возникновении вопросов можете связаться с нами:
E-mail: pifshtany@gmail.com
WhatsApp: +7 905 743 04 39