Математический курс «Комбинаторика»
Урок 2
Тема: комбинация множеств
для 1-9 классов
Содержание урока
1. Видеоразбор задач

2. Объяснение темы на конкретных примерах

3. Математические лайфхаки

4. Задачи для самостоятельного решения
КОМБИНАТОРИКА — УРОК 2
Видеоразбор задач
Задача 1
Задача 2
Существуют задачи, в которых требуется выбрать элементы из нескольких множеств.

Рассмотрим виды таких задач, разберёмся, как их решать и от чего зависит выбор метода решения.
Комбинация множеств
Условие
У Пифа есть 16 разных леденцов и 10 разных сливочных помадок. Сколькими способами он может выбрать лакомство к чаю?
1
ПРИМЕР
Условие
У Пифа есть 4 разных леденца и 3 разных сливочных помадки. Сколькими способами он может выбрать 2 лакомства к чаю?
2
ПРИМЕР
Условие
У Торика есть 3 мешочка с ёлочными игрушками. В первом – 3 ёлочных игрушки, во втором – 4, в третьем – 5. Сколькими способами он может вытащить 2 елочные игрушки из одного (любого) мешочка? (В этой задаче повторения исключать не будем, то есть важен порядок, в котором Торик вытаскивает игрушки из мешочка.)
3
ПРИМЕР
Математические лайфхаки
Лайфхак №1. Чтобы определить, какое правило использовать – суммы или произведения, задай вопрос: «Нужно выбрать один предмет ИЛИ второй, или один предмет И второй?» Если ответом будет «или» - количество способов следует складывать, если «и» - перемножать.

Лайфхак №2. Наиболее распространённая ошибка – двойной подсчёт одного способа (наборы a+b и b+a). Чтобы понять, нужно ли исключать такие варианты – внимательно изучи условие. Если в условии прямо или исходя из логических соображений (упорядоченные элементы) не указано, что важен порядок выбора – значит нас интересуют только уникальные сочетания, и повторения необходимо исключить. Если порядок важен – правило произведения используется в чистом виде (без деления).
У Пифа есть 16 разных леденцов и 10 разных сливочных помадок. Сколькими способами он может выбрать лакомство к чаю?
Пиф выбирает из сладостей двух видов: леденцы и помадки. Он может выбрать леденец (один из 16) ИЛИ помадку (одну из 10). Нас интересует выбор ЛЮБОГО из возможных вариантов. Тогда количество способов, которыми он может это сделать, можно посчитать как 16 + 10 = 26.
УСЛОВИЕ
Теперь немного изменим условие задачи и посмотрим, как от этого изменится решение. (См. пример №2)
РЕШЕНИЕ
Теперь немного изменим условие задачи и посмотрим, как от этого изменится решение.

Вот пример такой задачи:
У Пифа есть 4 разных леденца и 3 разных сливочных помадки. Сколькими способами он может выбрать 2 лакомства к чаю?
УСЛОВИЕ
РЕШЕНИЕ
Способ №1
Проанализируем, какие комбинации сладостей может выбрать Пиф. Он может взять 2 леденца, 2 помадки, леденец + помадку. Отдельно посчитаем количество таких комбинаций:

2 леденца. Первым можно выбрать любой леденец из четырех. Количество способов такого выбора, соответственно, 4. Вторым можно выбрать любой леденец из трёх оставшихся.
Тогда количество возможных комбинаций из двух леденцов рассчитывается, как 4 х 3 = 12.
Обратим внимание, что некоторые комбинации повторяются по составу, например леденцы красный + зелёный и зелёный + красный, красный + фиолетовый и фиолетовый + красный и т.д. Исключим такие повторения:
При таком исключении количество комбинаций уменьшилось вдвое. То есть в случае, когда нам НЕ ВАЖЕН порядок выбора леденцов, количество комбинаций можно рассчитать так: (4 х 3) : 2 = 6.
2 помадки. Первой можно выбрать любую помадку из трех. Количество способов выбора первой помадки – 3. Второй можно выбрать любую помадку из трёх оставшихся. Тогда количество возможных комбинаций из двух помадок рассчитывается, как (3 х 2) : 2 = 3 (исключая повторения наборов).
Леденец + помадка. Первой сладостью Пиф выберет один леденец из 4, второй – одну помадку из 3. Количество таких комбинаций: 4 х 3 = 12 (с каждым из леденцов можно выбрать одну из трёх помадок).
Теперь сложим полученные значения и получим общее количество возможных комбинаций: 6 + 3 + 12 = 21.
Способ №2
Пиф по-прежнему выбирает из сладостей двух видов: леденцы и помадки. Первым лакомством он может выбрать леденец (один из 4) ИЛИ помадку (одну из 3).

То есть количество способов выбрать леденец ИЛИ помадку считается так же, как в первой задаче: 4 + 3 = 7. А вторым лакомством он может выбрать уже одну из 6 сладостей (кроме той, которую он уже выбрал).

Тогда количество возможных способов выбрать 2 сладости можно рассчитать, перемножив количество способов выбора первой сладости и количество способов выбора второй сладости: 7 х 6 = 42. Но при таком подсчёте мы учли дважды комбинации, которые отличаются лишь порядком выбора сладости (например, красный леденец + шоколадная помадка и шоколадная помадка + красный леденец).

Чтобы такие варианты исключить, нужно разделить получившееся количество комбинаций на 2.
Получается: (7 х 6) : 2 = 21.
В чем различие между этими задачами? (Задача №1 и Задача №2)

В первой задаче два действия взаимно исключают друг друга (если Пиф выбрал леденец, то он не может выбрать помадку и наоборот). Тогда мы используем правило суммы: если первое действие можно выполнить n способами, а второе – m способами. Тогда выполнить ЛЮБОЕ из этих действий можно n+m способами.

А во второй задаче Пиф может выбрать первую конфету из 7 имеющихся, а вторую уже из 6 (исключая ту, которую он уже выбрал). Если нам требуется выполнить последовательно несколько действий, при этом первое действие можно выполнить n способами, второе – m способами и так далее, тогда все эти действия можно выполнить n х m х … способами – это правило называется правилом произведения. Только не забывайте убирать повторы одинаковых вариантов.

Теперь рассмотрим задачу, для решения которой требуется применить комбинацию правила суммы и правила произведения:
УСЛОВИЕ
У Торика есть 3 мешочка с ёлочными игрушками. В первом – 3 ёлочных игрушки, во втором – 4, в третьем – 5.

Сколькими способами он может вытащить 2 елочные игрушки из одного (любого) мешочка? (В этой задаче повторения исключать не будем, то есть важен порядок, в котором Торик вытаскивает игрушки из мешочка.)
РЕШЕНИЕ
Из первого мешочка Торик может вытащить первую игрушку тремя способами, а вторую – двумя (одну уже вытащил). Тогда, по правилу произведения, вытащить две игрушки из первого мешочка он может 3 х 2 = 6 способами.

Из второго мешочка первую игрушку он может вытащить четырьмя способами, а вторую – тремя. Тогда две игрушки из второго мешочка он может вытащить 3 х 4 = 12 способами.

Из третьего мешочка первую игрушку Торик может выбрать 5 способами, вторую – четырьмя, а две игрушки – 5 х 4 = 20 способами.

Получается, что вытащить 2 игрушки он может из первого мешочка (6 способами) ИЛИ из второго (12 способами) ИЛИ из третьего (20 способами).

Тогда, по правилу суммы, всего способов вытащить 2 игрушки из одного любого мешочка 6 + 12 + 20 = 38.
Задачи для самостоятельного решения:
Ниже ты найдёшь 5 задач для самостоятельного решения. Каждая задача помечена звёздочкой — это уровень сложности. Не спеши сразу смотреть решение с ответами. Постарайся самостоятельно разобраться в каждой задачке. У тебя всё получится! :)
Пиф пришёл в спортивный магазин, чтобы выбрать одно снаряжение для зимних видов спорта. Консультант предложил ему на выбор 4 ледянки, 6 пар фигурных коньков, 3 саней, 5 пар хоккейных коньков, 2 лыжных комплекта и 3 сноуборда. Сколько вариантов снаряжения на выбор предложил Пифу консультант?
Задача №1
Новогодняя олимпиада состоит из четырёх блоков. Для прохождения во второй тур олимпиады существует условие: необходимо верно решить одну задачу из каждого блока. Первые 2 блока содержат по одной задаче, третий – три, четвёртый – четыре. Сколько существует наборов задач (по одной задаче из каждого блока), позволяющих участнику пройти в следующий тур?
Боня выбирает наряд: платье с обувью или верх + низ + обувь. Для верха у неё есть на выбор 6 платьев, 3 свитера и 4 блузки. Для низа: 5 штанов и 2 юбки. Для обуви: 3 пары босоножек и 3 пары туфелек. Сколькими способами она может выбрать себе праздничный наряд?
Задача №2
Задача №3
Торик купил в магазине фонарик с тремя лампочками, расположенными в ряд. Каждая из лампочек должна гореть одним из 5 цветов: красным, жёлтым, зелёным, голубым или фиолетовым. Но распаковав фонарик дома, Торик обнаружил, что первая лампочка – дефектная: она не может гореть фиолетовым. Сколькими способами Торик может зажечь фонарик таким образом, чтобы ровно 2 лампочки горели красным цветом?
Пиф придумал 4-значный пароль для тайника. На каждой позиции может стоять любая цифра от 0 до 5. Пифу не нравится цифра 3, и он её не использует. А ещё ему кажется не безопасным использовать две одинаковые цифры подряд, но он хочет, чтобы первая цифра совпадала с последней. Сколько вариантов шаловливому Торику придётся перебрать, чтобы точно угадать пароль Пифа?
Задача №5
Задача №4
Пиф пришёл в спортивный магазин, чтобы выбрать одно снаряжение для зимних видов спорта. Консультант предложил ему на выбор 4 ледянки, 6 пар фигурных коньков, 3 саней, 5 пар хоккейных коньков, 2 лыжных комплекта и 3 сноуборда. Сколько вариантов снаряжения на выбор предложил Пифу консультант?
УСЛОВИЕ
РЕШЕНИЕ
Пиф выберет что-то одно: ледянку (одну из четырёх) ИЛИ пару фигурных коньков (одну из шести), ИЛИ сани (одни из трёх), ИЛИ пару хоккейных коньков (одну из пяти), ИЛИ лыжный комплект (один из двух), ИЛИ сноуборд (один из трёх). Используя правило суммы, подсчитаем количество вариантов выбрать снаряжение: 4 + 6 + 3 + 5 + 2 + 3 = 23 варианта.
Новогодняя олимпиада состоит из четырёх блоков. Для прохождения во второй тур олимпиады существует условие: необходимо верно решить одну задачу из каждого блока. Первые 2 блока содержат по одной задаче, третий – три, четвёртый – четыре. Сколько существует наборов задач (по одной задаче из каждого блока), позволяющих участнику пройти в следующий тур?
УСЛОВИЕ
РЕШЕНИЕ
Необходимо решить по одной задаче из первого И второго, И третьего, И четвертого блоков. Используем правило произведения. Есть 1 способ выбора задачи из первого блока, 1 способ выбора задачи из второго блока, 3 – из третьего и 4 – из четвертого. Перемножим количества способов выбрать задачу из каждого блока: 1 х 1 х 3 х 4 = 12 способов.
Боня собирается на День рождения Златы и решает, что надеть. Из подходящей одежды и обуви у неё есть на выбор 6 платьев, 3 свитера и 4 блузки, 5 штанов и 2 юбки, 3 пары босоножек и 3 пары закрытых туфелек. Сколькими способами она может выбрать себе праздничный наряд?
УСЛОВИЕ
РЕШЕНИЕ
Заметим, что одежду Боня может выбрать по следующему принципу: верх + низ ИЛИ платье.

Посчитаем сначала количество способов выбрать верх и низ. В качестве верха можно выбрать свитер (один из трёх) ИЛИ блузку (одну из четырёх). Тогда верх, по правилу суммы, можно выбрать 3 + 4 = 7 способами. В качестве низа можно выбрать штаны (одни из пяти) ИЛИ юбку (одну из двух). Тогда и низ, так же по правилу суммы, можно выбрать 5 + 2 = 7 способами.

А платье Боня может выбрать шестью способами, т. к. всего платьев у неё шесть.

А сколько способов подобрать обувь? Можно выбрать босоножки (одни из трёх) или закрытые туфли (одни из трёх). По правилу суммы получим 3 + 3 = 6 способов выбрать обувь.

Теперь можем посчитать количество возможных нарядов в комбинации верх + низ + обувь. Поскольку нужно использовать все три предмета гардероба, используем правило произведения и перемножаем количество способов выбрать каждый элемент: 7 х 7 х 6 = 294 способа выбрать такой наряд.

Осталось посчитать количество возможных нарядов в комбинации платье + обувь. Так же по правилу произведения: 6 х 6 = 36.

Боня может надеть верх + низ + обувь ИЛИ платье + обувь. Тогда по правилу суммы сложим количество комбинаций, которые мы получили: 294 + 36 = 330 способов.

Торик купил в магазине фонарик с тремя лампочками, расположенными в ряд. Каждая из лампочек должна гореть одним из 5 цветов: красным, жёлтым, зелёным, голубым или фиолетовым. Но распаковав фонарик дома, Торик обнаружил, что первая лампочка – дефектная: она не может гореть фиолетовым. Сколькими способами Торик может зажечь фонарик таким образом, чтобы ровно 2 лампочки горели красным цветом?
УСЛОВИЕ
РЕШЕНИЕ
Существует три возможных способа размещения красной лампочки: на первом и втором месте (к к _) ИЛИ на первом и третьем месте (к _ к), ИЛИ на втором и третьем месте (_ к к).

Оставшееся место в первых двух случаях может занять любая из четырех оставшихся лампочек – жёлтая, зелёная, голубая или фиолетовая, то есть 4 варианта для первого случая и 4 для второго.

А в третьем случае место первой лампочки может занять только одна из трёх лампочек – жёлтая, зелёная или голубая, поскольку фиолетовая сломана. То есть для третьего случая есть 3 способа зажечь лампочку.

Количество способов зажечь фонарик так, чтобы горело ровно две красных лампочки рассчитываем по правилу суммы: 4 + 4 + 3 = 11 способов.
Пиф придумал 4-значный пароль для тайника. На каждой позиции может стоять любая цифра от 0 до 5. Пифу не нравится цифра 3, и он её не использует. А ещё ему кажется не безопасным использовать две одинаковые цифры подряд, но он хочет, чтобы первая цифра совпадала с последней. Сколько вариантов шаловливому Торику придётся перебрать, чтобы точно угадать пароль Пифа?
УСЛОВИЕ
РЕШЕНИЕ
Поскольку речь идёт о выборе первой И второй, И третьей, И четвертой цифры, мы будем использовать правило произведения. Осталось только определить, сколько существует способов размещения цифр на каждой позиции.

На первой позиции может стоять любая из 5 цифр (кроме 3).

На второй – любая из 4 цифр (кроме 3 и той, что размещена на первой позиции).

На третьей – любая из 3 цифр (не 3, не та, что на второй позиции и не та, что на четвертой позиции).

На четвертой – только одна цифра, та, что на первой позиции.

Перемножаем: 5 х 4 х 3 х 1 = 60 вариантов.


Переходи в чат курса, чтобы задать вопросы!
website icon
Чат курса
При возникновении вопросов можете связаться с нами:
E-mail: pifshtany@gmail.com
WhatsApp: +7 905 743 04 39