Осталось:

I этап отбора в олимпиадную сборную
«Пифагоровы штаны»

ВАЖНО ПЕРЕД НАЧАЛОМ
6 класс
Для участия в отборе вам понадобится бумага и ручка. К каждой задаче необходимо записать подробное решение, сфотографировать его и загрузить на страницу тестирования.

Пожалуйста, не ограничивайтесь только ответом: нам важно увидеть ход ваших рассуждений, логику и способ решения. Именно по ним мы оцениваем уровень участника.

На прохождение отбора даётся 105 минут:
  • 90 минут — на решение задач
  • 15 минут — на фотографирование и загрузку решений

Задача 1

6 кл
Петя выкладывает в ряд карточки с числами 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, каждую ровно один раз. Может ли он сделать так, что сумма любых трёх соседних карточек не делилась на 3?

Задача 2

6 кл
Ученику предложили доказать: «Сумма любых пяти последовательных натуральных чисел делится на 5». Он написал: «Возьмём числа n, n+1, n+2, n+3, n+4. Их сумма равна 5n+10. Поскольку 5n делится на 5, сумма тоже делится на 5». Правильно ли доказательство? Если правильно — объясните, почему. Если неправильно — найдите ошибку и исправьте доказательство. Верно ли аналогичное утверждение для любых четырёх последовательных натуральных чисел?

Задача 3

6 кл
Куб 3 на 3 составлен из 27 одинаковых маленьких кубиков. Разрешается убрать несколько кубиков. После этого при взгляде спереди, сверху и справа фигура по-прежнему должна выглядеть как полный квадрат 3 на 3: в каждом из трёх направлений ни одного «просвета» быть не должно. Какое наименьшее количество кубиков можно оставить? Приведите пример и докажите, что меньшего количества недостаточно

Задача 4

6 кл
На доске написаны числа
1,2,3, …, 12.

Петя и Вася по очереди стирают по одному числу. Первым ходит Петя. Когда останутся два числа, игра заканчивается. Петя хочет, чтобы сумма оставшихся двух чисел была 13, Вася хочет этому помешать. Кто из игроков может гарантированно добиться своей цели независимо от действий соперника? Опишите выигрышную стратегию и докажите, что она работает.

Задача 5

6 кл
Есть 7 закрытых коробок. Ровно в одной находится приз. Можно задать ведущему три вопроса. Каждый раз разрешается выбрать любое количество коробок и спросить:

«Находится ли приз в одной из выбранных коробок?»

Ведущий отвечает только «да» или «нет».

Однако известно, что в одном из трёх ответов ведущий может соврать. Можно ли гарантированно определить, в какой коробке находится приз? Если можно — придумайте способ. Если нельзя — докажите невозможность.
Прикрепить файлы с решением
Осталось 15 минут
  • Время на решение задач заканчивается. Переходите к загрузке фотографий ваших решений.

  • Убедитесь, что вы загрузили решение к каждой задаче и все записи хорошо видны на фото.

  • Не откладывайте загрузку на последние минуты — после окончания времени отправить решения будет нельзя.