Существуют задачи, в которых требуется выбрать элементы из нескольких множеств.
Рассмотрим виды таких задач, разберёмся, как их решать и от чего зависит выбор метода решения.
Рассмотрим виды таких задач, разберёмся, как их решать и от чего зависит выбор метода решения.
Комбинация множеств
Условие
У Торика есть 3 мешочка с ёлочными игрушками. В первом – 3 ёлочных игрушки, во втором – 4, в третьем – 5. Сколькими способами он может вытащить 2 елочные игрушки из одного (любого) мешочка? (В этой задаче повторения исключать не будем, то есть важен порядок, в котором Торик вытаскивает игрушки из мешочка.)
3
ПРИМЕР
Математические лайфхаки
Лайфхак №1. Чтобы определить, какое правило использовать – суммы или произведения, задай вопрос: «Нужно выбрать один предмет ИЛИ второй, или один предмет И второй?» Если ответом будет «или» - количество способов следует складывать, если «и» - перемножать.
Лайфхак №2. Наиболее распространённая ошибка – двойной подсчёт одного способа (наборы a+b и b+a). Чтобы понять, нужно ли исключать такие варианты – внимательно изучи условие. Если в условии прямо или исходя из логических соображений (упорядоченные элементы) не указано, что важен порядок выбора – значит нас интересуют только уникальные сочетания, и повторения необходимо исключить. Если порядок важен – правило произведения используется в чистом виде (без деления).
Лайфхак №2. Наиболее распространённая ошибка – двойной подсчёт одного способа (наборы a+b и b+a). Чтобы понять, нужно ли исключать такие варианты – внимательно изучи условие. Если в условии прямо или исходя из логических соображений (упорядоченные элементы) не указано, что важен порядок выбора – значит нас интересуют только уникальные сочетания, и повторения необходимо исключить. Если порядок важен – правило произведения используется в чистом виде (без деления).
Условие
У Пифа есть 16 разных леденцов и 10 разных сливочных помадок. Сколькими способами он может выбрать лакомство к чаю?
1
ПРИМЕР
Условие
У Пифа есть 4 разных леденца и 3 разных сливочных помадки. Сколькими способами он может выбрать 2 лакомства к чаю?
2
ПРИМЕР
У Пифа есть 16 разных леденцов и 10 разных сливочных помадок. Сколькими способами он может выбрать лакомство к чаю?
Пиф выбирает из сладостей двух видов: леденцы и помадки. Он может выбрать леденец (один из 16) ИЛИ помадку (одну из 10). Нас интересует выбор ЛЮБОГО из возможных вариантов. Тогда количество способов, которыми он может это сделать, можно посчитать как 16 + 10 = 26.
Теперь немного изменим условие задачи и посмотрим, как от этого изменится решение. (См. пример №2)
УСЛОВИЕ
РЕШЕНИЕ
Теперь немного изменим условие задачи и посмотрим, как от этого изменится решение.
Вот пример такой задачи:
Вот пример такой задачи:
У Пифа есть 4 разных леденца и 3 разных сливочных помадки. Сколькими способами он может выбрать 2 лакомства к чаю?
Способ №1
Проанализируем, какие комбинации сладостей может выбрать Пиф. Он может взять 2 леденца, 2 помадки, леденец + помадку. Отдельно посчитаем количество таких комбинаций:
2 леденца. Первым можно выбрать любой леденец из четырех. Количество способов такого выбора, соответственно, 4. Вторым можно выбрать любой леденец из трёх оставшихся.
2 леденца. Первым можно выбрать любой леденец из четырех. Количество способов такого выбора, соответственно, 4. Вторым можно выбрать любой леденец из трёх оставшихся.
Тогда количество возможных комбинаций из двух леденцов рассчитывается, как 4 х 3 = 12.
УСЛОВИЕ
Обратим внимание, что некоторые комбинации повторяются по составу, например леденцы красный + зелёный и зелёный + красный, красный + фиолетовый и фиолетовый + красный и т.д. Исключим такие повторения:
При таком исключении количество комбинаций уменьшилось вдвое. То есть в случае, когда нам НЕ ВАЖЕН порядок выбора леденцов, количество комбинаций можно рассчитать так: (4 х 3) : 2 = 6.
2 помадки. Первой можно выбрать любую помадку из трех. Количество способов выбора первой помадки – 3. Второй можно выбрать любую помадку из трёх оставшихся. Тогда количество возможных комбинаций из двух помадок рассчитывается, как (3 х 2) : 2 = 3 (исключая повторения наборов).
Леденец + помадка. Первой сладостью Пиф выберет один леденец из 4, второй – одну помадку из 3. Количество таких комбинаций: 4 х 3 = 12 (с каждым из леденцов можно выбрать одну из трёх помадок).
Теперь сложим полученные значения и получим общее количество возможных комбинаций: 6 + 3 + 12 = 21.
Способ №2
Пиф по-прежнему выбирает из сладостей двух видов: леденцы и помадки. Первым лакомством он может выбрать леденец (один из 4) ИЛИ помадку (одну из 3).
То есть количество способов выбрать леденец ИЛИ помадку считается так же, как в первой задаче: 4 + 3 = 7. А вторым лакомством он может выбрать уже одну из 6 сладостей (кроме той, которую он уже выбрал).
Тогда количество возможных способов выбрать 2 сладости можно рассчитать, перемножив количество способов выбора первой сладости и количество способов выбора второй сладости: 7 х 6 = 42. Но при таком подсчёте мы учли дважды комбинации, которые отличаются лишь порядком выбора сладости (например, красный леденец + шоколадная помадка и шоколадная помадка + красный леденец).
Чтобы такие варианты исключить, нужно разделить получившееся количество комбинаций на 2.
Получается: (7 х 6) : 2 = 21.
То есть количество способов выбрать леденец ИЛИ помадку считается так же, как в первой задаче: 4 + 3 = 7. А вторым лакомством он может выбрать уже одну из 6 сладостей (кроме той, которую он уже выбрал).
Тогда количество возможных способов выбрать 2 сладости можно рассчитать, перемножив количество способов выбора первой сладости и количество способов выбора второй сладости: 7 х 6 = 42. Но при таком подсчёте мы учли дважды комбинации, которые отличаются лишь порядком выбора сладости (например, красный леденец + шоколадная помадка и шоколадная помадка + красный леденец).
Чтобы такие варианты исключить, нужно разделить получившееся количество комбинаций на 2.
Получается: (7 х 6) : 2 = 21.
В чем различие между этими задачами? (Задача №1 и Задача №2)
В первой задаче два действия взаимно исключают друг друга (если Пиф выбрал леденец, то он не может выбрать помадку и наоборот). Тогда мы используем правило суммы: если первое действие можно выполнить n способами, а второе – m способами. Тогда выполнить ЛЮБОЕ из этих действий можно n+m способами.
А во второй задаче Пиф может выбрать первую конфету из 7 имеющихся, а вторую уже из 6 (исключая ту, которую он уже выбрал). Если нам требуется выполнить последовательно несколько действий, при этом первое действие можно выполнить n способами, второе – m способами и так далее, тогда все эти действия можно выполнить n х m х … способами – это правило называется правилом произведения. Только не забывайте убирать повторы одинаковых вариантов.
В первой задаче два действия взаимно исключают друг друга (если Пиф выбрал леденец, то он не может выбрать помадку и наоборот). Тогда мы используем правило суммы: если первое действие можно выполнить n способами, а второе – m способами. Тогда выполнить ЛЮБОЕ из этих действий можно n+m способами.
А во второй задаче Пиф может выбрать первую конфету из 7 имеющихся, а вторую уже из 6 (исключая ту, которую он уже выбрал). Если нам требуется выполнить последовательно несколько действий, при этом первое действие можно выполнить n способами, второе – m способами и так далее, тогда все эти действия можно выполнить n х m х … способами – это правило называется правилом произведения. Только не забывайте убирать повторы одинаковых вариантов.
РЕШЕНИЕ
Теперь рассмотрим задачу, для решения которой требуется применить комбинацию правила суммы и правила произведения:
У Торика есть 3 мешочка с ёлочными игрушками. В первом – 3 ёлочных игрушки, во втором – 4, в третьем – 5.
Сколькими способами он может вытащить 2 елочные игрушки из одного (любого) мешочка? (В этой задаче повторения исключать не будем, то есть важен порядок, в котором Торик вытаскивает игрушки из мешочка.)
Сколькими способами он может вытащить 2 елочные игрушки из одного (любого) мешочка? (В этой задаче повторения исключать не будем, то есть важен порядок, в котором Торик вытаскивает игрушки из мешочка.)
Из первого мешочка Торик может вытащить первую игрушку тремя способами, а вторую – двумя (одну уже вытащил). Тогда, по правилу произведения, вытащить две игрушки из первого мешочка он может 3 х 2 = 6 способами.
Из второго мешочка первую игрушку он может вытащить четырьмя способами, а вторую – тремя. Тогда две игрушки из второго мешочка он может вытащить 3 х 4 = 12 способами.
Из третьего мешочка первую игрушку Торик может выбрать 5 способами, вторую – четырьмя, а две игрушки – 5 х 4 = 20 способами.
Получается, что вытащить 2 игрушки он может из первого мешочка (6 способами) ИЛИ из второго (12 способами) ИЛИ из третьего (20 способами).
Тогда, по правилу суммы, всего способов вытащить 2 игрушки из одного любого мешочка 6 + 12 + 20 = 38.
Из второго мешочка первую игрушку он может вытащить четырьмя способами, а вторую – тремя. Тогда две игрушки из второго мешочка он может вытащить 3 х 4 = 12 способами.
Из третьего мешочка первую игрушку Торик может выбрать 5 способами, вторую – четырьмя, а две игрушки – 5 х 4 = 20 способами.
Получается, что вытащить 2 игрушки он может из первого мешочка (6 способами) ИЛИ из второго (12 способами) ИЛИ из третьего (20 способами).
Тогда, по правилу суммы, всего способов вытащить 2 игрушки из одного любого мешочка 6 + 12 + 20 = 38.
УСЛОВИЕ
РЕШЕНИЕ